Хитрость Декарта

[Пламен]

Мне любопытно познакомиться хоть с одной аксиомой геометрии Лобачевского.

Consistent with the principles of logic, where the fundamental assertions of a proposed system of logic proceed from objectively formulated axioms, undefined terms, and definitions, then to the extent this is true, said fundamental assertions must necessarily be regarded as strictly objective elements or concepts - moreover, strictly objective concepts which need not be proven and which, in effect, come to establish guidelines directing the character and content of eventual theorem level assertions, very similar to the way that so-called, fundamental understandings, pre-conditions, and premises act as guidelines to the specifications of a legal contract or constitution. Given the objective fundamental assertions just mentioned, this would mean logically insuring that eventual theorem level assertions will also be strictly objective in character. It is in this way that strictly objective systems of logic are constructed.

[Nick]

Благодаря интернету это не проблема, например, он сформулировал новую аксиому о параллельных прямых, противоположную аксиоме Евклида.
http://new3.novgorod.ru/pages/ieis/bibl/mo/podran/lob/book/par1/ch1.htm

[Пламен]

Планиметрия Лобачевского строится на аксиоматике евклидовой геометрии с заменой аксиомы параллельности на аксиому Лобачевского: пусть a – произвольная прямая, а A – точка, не лежащая на этой прямой; тогда существует не менее двух прямых, проходящих через точку A и не пересекающих прямую a.

Причем тут параллельность? И почему не менее двух? С тем же успехом можно было сказать "не менее десяти" или "не менее тысячи".

[Zvuki]

Как причём параллельность? Это ж одна из аксиом. А что касается 10 и 1000, то насколько я понимаю, если есть две прямые непересекающиеся с третьей, то скорей всего можно доказать что есть и бесконечно много прямых непересекающихся с третьей (те прямые, которые лежат как бы между двух первых).

А Ваша мысль, Пламен, видимо состоит в том, что имеется набор самоочевидных истин, которые самоочевидны всем разумным людям, жившим когда-либо ранее, живущим ныне и будущим жить когда-либо в будущем? Есть подозрение (видимо у нас с Nickом), что такого жёсткого набора не существует. Он может меняться для разных групп людей и для разных поколений (и разных цивилизаций).

[Пламен]

А где сказано, что эти две линии параллельны? Наоборот, они пересекаются в точке А. И таких пересекающихся линий сколько угодно. Совершенно необязательно, чтобы линии, проходящие через точку А были параллельными линии а.

А если существует только одна линия, то эта "аксиома" запретила бы ее.

Где тут очевидность и самопонятность аксиомы, если это вообще аксиома. Мне она кажется случайным набором слов без никакого смысла.

Если бы в условии было сказано, что все линии и точка А находятся в одной плоскости, тогда очевидно, что аксиома неверна. Через точку А может пройти только одна линия, которая не пересекается с линией а. Любая другая линия пересеклась бы. Но если эти другие линии находятся в других плоскостях, то о какой параллельности может идти речь?!

[Пламен]

Или возьмем другую "аксиому": параллельные линии пересекаются в бесконечности.

Так это откровенный софизм, который нам сообщает, что параллельные линии никогда не пересекаются, потому что бесконечность недостижима.

[Nick]

Причем тут параллельность? И почему не менее двух?...
...Совершенно необязательно, чтобы линии, проходящие через точку А были параллельными линии а.

Правильно, не обязательно, но две (и более) пересекающихся прямых могут быть параллельны некой прямой (и это очевидно наблюдается в неких сферических плоскостях), а у Евклида, если прямая пересекает одну параллельную, то пересекает и все остальные, но это верно только для плоскости абсолютно гладкой. Мы же, как наблюдающие субъекты, не способны оценить кривизну пространства в котором наблюдаем, поскольку искревлены вместе с ним.
Таким образом, аксиоматичность геометрии Евклида зависит от условий, при не соблюдении которых вся очевидность-необходимость пропадает: если есть условия, то АКСИОМАТИЧНОСТЬ НЕОБХОДИМО соблюдается, но ЛИШЬ при наличи условий.

[Nick]

Так это откровенный софизм, который нам сообщает, что параллельные линии никогда не пересекаются, потому что бесконечность недостижима.

Подразумевается бесконечность по отношению к наблюдающему субъекту (по крайне мере), другими словами утверждается что, Евклид постулируя бесконечно гладкую плоскость сам впал в софистику.

[JR-JT]

Это очень веселая ситуация (про прямые, параллельные и т.д.). Главное - математикам не говорить, не то большинство примется с жаром доказывать, объяснять и вообще всячески умножать сущности, а оставшееся меньшинство и без нас знает, что Минковский придумал гораздо более странный объект, чем даже Хаусдорф (тут я конечно загнул, но уж точно более странное, чем Риман) и при этом у него хватило нахальства назвать его пространством.
Физикам так вообще параллельно, что есть параллельные (прямые, кривые и прочие) - лишь бы не пересекались, где ни попадя.
Имхо, конечно .

[Пламен]

Простите, но сфера уже не плоскость. У нее есть поверхность, но поверхность уже трехмерная. Софизм - это когда закрываешь глаза на очевидный факт, что трехмерное пространство не является двухмерной плоскостью.

С другой стороны, если даже пространство и загибается в бесконечности, то опять таки совершенно необязательно, чтобы параллельные линии пересекались. Представьте себе, что они просто загибаются параллельно вниз. Если они действительно пересекаются, то это только означает, что в бесконечности вся вселенная сжата в одну точку. А это очень далеко от аподиктичности, так как здесь тоже вселенная, и она не точка.

[Пламен]

Главное - математикам не говорить, не то большинство примется с жаром доказывать, объяснять и вообще всячески умножать сущности.

Соверешенно верно. Они станут доказывать "аксиомы", что подтверждает мой тезис о том, что так называемые аксиомы неэвклидовых геометрий являются выводными конструкциями, а не аподиктическими очевидностями.

[КИ]

Весь вопрос в том, что такое эта самая "прямая". В определении: наикратчейшее расстояние между двумя точками вообще нет никакой прямизны. Как вы лодку назовете, так она и поплывет (с). Какие сущности будут нафантазированы, таковые и правилы между ними будет возможно установить.

[Nick]

Это очень веселая ситуация (про прямые, параллельные и т.д.).

Это точно, нефилософский научный мир уже настолько ирреален, что никакому посмодернизму и не снилось :oops:

Если они действительно пересекаются, то это только означает, что в бесконечности вся вселенная сжата в одну точку.

Не совсем. Все меридианы сходятся на полюсе в одну точку, хотя на экваторе параллельны друг другу, однако же Земля не сжата в точку. Гороздо сложнее представляется мир в котором плоскость со своими параллельными прямыми уходит в бесконечность. Собственно это и есть УСЛОВИЕ при котором параллельные прямые никогда не пересекутся.

[Nick]

Весь вопрос в том, что такое эта самая "прямая". В определении: наикратчейшее расстояние между двумя точками вообще нет никакой прямизны. Как вы лодку назовете, так она и поплывет (с).

Это же Врунгель сказал
Но мысль верна, без контекста никакой аподиктичности и быть не может.
Что же касается определения прямой, то в Началах она звучит несколько иначе:
«Прямая линии есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней» (Евклид. Начала, кн. I, определение 5). А кротчайшее расстояние вроде Кант придумал, тоже ссылался на некую "аподиктичность", за что и был нещадно бит Гегелем

[КИ]

Ник, скажите, что мне нужно сделать, чтобы реже видеть слово "Гегель"? Почему не Маркс, не Ленин?

[Пламен]

Меридианы не параллели. Параллели нигде не смыкаются друг с другом, несмотря на то, что они расположены на сферической поверхности.

[Nick]

Ник, скажите, что мне нужно сделать, чтобы реже видеть слово "Гегель"?

Признать его величайшим философом и не приписывать ему таких учеников как  Ленин. :lol: Но думаю и это не поможет. :twisted:

Меридианы не параллели. Параллели нигде не смыкаются друг с другом, несмотря на то, что они расположены на сферической поверхности.

Так и должно быть, иначе не выполнялась бы аксиома: пусть a – произвольная прямая, а A – точка, не лежащая на этой прямой; тогда существует не менее двух прямых, проходящих через точку A и не пересекающих прямую a; есть по крайне мере два мередиана, пресекающихся на полюсе - точке А, и мередиан проведённый как параллель их не пересекающий.

[Пламен]

Ник, если Вы способны описанную Вами картину представить себе наглядно, то Вы либо Бог, либо гений чистого мышления.

Подскажите, что это за меридиан, который не проходит через полюс?! Или что это за параллель, которая не пересекается меридианами?! И каким чувством Вы узрели параллельность меридианов параллели?

[Пламен]

Для того, чтобы аподиктично узреть плоскость Лобачевского, надо допустить, что у нее больше двух измерений. А это, простите меня нематематика, уже не плоскость, а объемная, может быть даже многомерная фигура. Какого черта математики объем называют плоскостью?

[Nick]

Ник, если Вы способны описанную Вами картину представить себе наглядно, то Вы либо Бог, либо гений чистого мышления.

Увы, всего лишь помню картинку из какого-то пособия для чайников, но даже не помню как оно называлось
Сфера это не Земля (хотя Земля - сфера, почти) и у неё полюс может быть в любом месте, в том числе и в том, месте где на Земле экватор, поэтому не составляет труда через как бы экватор (Земли) проводить как меридианы, так и параллели.

Для того, чтобы аподиктично узреть плоскость Лобачевского, надо допустить, что у нее больше двух измерений.

Не у плоскости, а у протранства, плоскость Лобачевского - плоская, но она искривляется в пространстве. Если взять листок бумаги и легка изогнуть, то он не перестанет быть плоскостью, но плоскостью изогнутой, так что математики правильно называют плоскость - плоскостью, а объём - объёмом. Есть изотропное пространство, а есть анизотрпное, так вот изотропное - часный случай анизотропного пространства.